设向量 v、w 和 u 是向量空间 V 的三个向量。下列哪些选项是正确的( ) | 工程数学

单选题设 A 和 B 是两个 n×n 的矩阵，则下列哪项是正确的( )

A、AB = BA ⼀定成⽴

B、AB 的秩⼀定等于 A 的秩和 B 的秩之和

C、若 A 是可逆矩阵，则 B ⼀定是可逆矩阵

D、若 A 是幂等矩阵，则 B ⼀定是幂等矩阵

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单选题设矩阵 A 是⼀个 n×n 的幂等矩阵，则下列哪项是正确的( )

A、A 的特征值⼀定是 1 或 0

B、A 的⾏列式的值⼀定是 1

C、A 的逆矩阵⼀定存在

D、A 的秩⼀定等于 A 的⾏数或列数中较⼤的那个

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单选题设 A 是⼀个 2×2 的矩阵，B 是⼀个 2×3 的矩阵，C 是⼀个 3×4 的矩阵，则下列哪项是正确的( )

A、A + B + C 的结果不是⼀个定义良好的矩阵

B、若 A 是⼀个幂等矩阵，则 B + C 也⼀定是⼀个幂等矩阵

C、若 A 是⼀个对称矩阵，则 A + B 是⼀个对称矩阵

D、若 B 和 C 不满秩，则 A + B + C 的秩⼀定⼩于 4

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单选题设 v 和 w 是向量空间 V 的两个⾮零向量，则下列哪项是正确的( )

A、v + w ⼀定是 V 的⼀个基

B、v 和 w 线性⽆关的充分必要条件是它们的线性组合不等于零向量

C、v 和 w 的内积⼀定等于它们的模的乘积

D、若 v 和 w 线性⽆关，则它们的副本⼀定线性相关

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单选题设线性变换 T : R^3 → R^2 是⼀个满射( )，则下列哪项是正确的( )

A、T 是⼀个单射（injective）

B、T 的矩阵表示⼀定是⼀个⽅阵

C、T 的定义域的维度⼀定⼤于或等于 T 的值域的维度

D、T 的特征值⼀定存在

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单选题设线性变换 T : R^n → R^m 是⼀个单射( )，则下列哪项是正确的( )

A、T 是⼀个满射（surjective）

B、T 的定义域的维度⼀定⼩于或等于 T 的值域的维度

C、不同的线性变换可能有相同的特征值

D、若 T 是⼀个线性变换，则 kT（k 为常数）也⼀定是⼀个线性变换

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单选题设 v 和 w 是向量空间 V 的两个⾮零向量，若 v = -w，则 w 的值是( )

A、零向量

B、w

C、-w

D、不能确定

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单选题设矩阵 A 是⼀个对称矩阵，则下列哪项是正确的？( )

A、A 的特征向量⼀定相互垂直

B、A 的特征值⼀定是正数

C、A 的秩⼀定等于 A 的⾏数或列数中较⼩的那个

D、A 的逆矩阵⼀定存在

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